Bart Claessens studeerde trombone aan het Rotterdams Conservatorium, waar hij les kreeg van George Wiegel, Jörgen van Rijen, Pierre Volders en Ben van Dijk. Daarnaast volgde hij lessen en masterclasses bij onder anderen Joseph Alessi, Michel Becquet, Bart van Lier, Christian Lindberg en Jonas Bylund.
In maart 2002, nog tijdens zijn studie, trad Claessens als tenor- en bastrombonist toe tot het Concertgebouworkest, waar hij in 2007 werd benoemd tot solotrombonist.
Daarnaast is hij actief bij verschillende kamermuziekensembles zoals de Ebony Band en het Koper van het Concertgebouworkest en treedt hij regelmatig op als solist.
Bart Claessens is als docent trombone verbonden aan Conservatorium Maastricht en verzorgde masterclasses tijdens tournees van het Concertgebouworkest.
Bart Claessens bespeelt een aantal trombones uit de collectie van de Foundation Concertgebouworkest, waarvan de meest recente in Japan werd aangekocht, een Bach trombone, gemodificeerd en met de hand in elkaar gezet waardoor de klank rijk is en het instrument makkelijker aanspreekt.